西口 純矢， On roots of characteristic equation of some linear delay differential equations

A delay differential equation (DDE) is an ODE such that the time derivative of an unknown function also depends on its past value. In this talk, we investigate the stability of a steady solution of DDE and study the location of the roots of the characteristic equation of the linearized DDE. The main theorem is a necessary and sufficient condition for which all the roots of a transcendental equation \[ z + a + b\mathrm{e}^{-z \tau} = 0 \mspace{20mu} (a, b \in \mathbb{C}, \mspace{5mu} \tau > 0) \] have negative real parts. Besides, we apply this to the delayed feedback control.

三浦 正成， Uniqueness theorem on weak solutions to the parabolic-parabolic Keller-Segel system of degenerate and singular types

Keller-Segel方程式系は多くのパラメーターを有し，その取り方によって半線形型，退化型，特異型が現れる豊富な構造を内在している．特に退化型の場合，主要項の係数に未知関数が含まれるため一様楕円性が保証されない困難さを生ずる．同方程式系自身は，放物-放物型および放物-楕円型に分類されるが，ともに重要な研究対象であり，適切性を論じる際，それぞれの特性に応じた解析が求められる．本講演では，退化型及び特異型をした放物-放物型Keller-Segel方程式系に焦点を絞り，Hölder連続な関数空間において，弱解の一意性が成立することを論じる．

神谷 寛， Life span of solutions for a semilinear heat equation with a large exponent

べき乗型の非線形項を持つ半線形熱方程式の初期値問題の解のライフスパンについて, 拡散係数を小さくした場合の評価が知られている. 本講演では, 初期値の最大値が 1 より大きいという仮定の下で, 拡散係数を固定し, 非線形項の指数を大きくした場合のライフスパンの評価が得られたことを報告する.

原田 潤一， Blow-up points for a semilinear complex-valued heat equation

複素数に値をとる半線形熱方程式において、解の爆発問題を考察する。本方程式では、対応する常微分方程式の解はほとんどの初期値に対して時間大域的となる。本講演ではこの性質を用いて、ある点において解が爆発するための必要条件を与える。更に上の結果を応用し、爆発点の位置が解の零点によって特徴付けられることを報告する。

松澤 寛， Spreading speed and profile for nonlinear diffusion problems with free boundaries

1 次元空間上の非線形拡散方程式の自由境界問題を考える. 非線形項が単安定, 双安定, 燃焼型と呼ばれる３タイプのいずれかである場合, 時間無限大における詳細な漸近挙動が Du と Lou によって得られた. 具体的には主に次の２つの場合が起こる： (1) 自由境界は \(t\to\infty\) において正の無限大に発散し, 関数 \(u\) はある正の定数に広義一様収束する(speading), (2) 自由境界は \(t\to\infty\) において有限の範囲にとどまり, \(u\) は \(0\) に一様に収束する (vanishing).

本講演ではまず自由境界問題に関する先行研究と関連するCauchy問題と進行波に関する結果を紹介する。その後, Du と Lou の研究において, spreadingが起こる場合, 自由境界の進行速度 (spreading speed) の詳しい評価が得られることと, 時間が十分経過したあとでは関数 \(u\) は非線形項のみから決まる進行波のように形を変えずに一定速度で動く関数に近づくことを示す.

本講演は Yihong Du 教授 (University of New England, Australia) および Maolin Zhou 氏 (東京大学) との共同研究に基づく.

和田出 秀光， Maximizing problems associated with Trudinger-Moser type inequalities in the whole space

Trudinger-Moserの不等式はSobolev定理の臨界ケースに位置し、関数の指数型可積分性を保証する関数不等式として知られている。本講演では、全空間上の斉次および非斉次Trudinger-Moser型不等式の最大化問題を考察する。斉次性がある場合とない場合において、対応する変分問題を考察し、最大化関数の存在、非存在にどのような影響を及ぼすかを論じる。同研究は大阪大学の石渡通徳氏との共同研究に基づくものである。

田中 敏， A note on the uniqueness of sign-changing radial solutions for scalar field equations in thin annuli

円環領域における方程式 \(\Delta u - u + |u|^{p-1}u = 0\), \(p>1\) の Dirichlet 問題を考える. 正値球対称解の一意性は次元が 3 以上のときは 2003年に Tang によって, 次元が 2 のときは 2008年に Felmer-Martinez-Kazunaga Tanaka によって, それぞれ示されている. 本講演では, 任意に指定された回数だけ符号変化する球対称解が, 非常に薄い円環領域においては, 一意であることを示す.

前川 泰則， On isomorphism for the space of solenoidal vector fields and its application to the Stokes problem

We discuss the space of solenoidal vector fields in an unbounded domain \(\Omega\subset \mathbb{R}^n\), \(n\geq 2\), whose boundary is given as a Lipschitz graph. It is shown that, under suitable functional setting, the space of solenoidal vector fields is isomorphic to the \(n-1\) product space of the space of scalar functions. This result leads to a natural and systematic reduction of the equations describing the motion of incompressible flows. In particular, our approach reveals a generic structure for the Stokes operator and the associated semigroup. This talk is based on a joint work with Hideyuki Miura (Tokyo Institute of Technology).

山岡 直人， Oscillation constants for second-order ordinary differential equations related to elliptic equations with \(p\)-Laplacian

This talk deals with the oscillation problem for the second-order nonlinear differential equation \((t^{\alpha-1} \phi_p(x'))' + t^{\alpha-1-p} f(x) = 0\), where \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(p > 1\), \(\phi_p(x) = |x|^{p-2} x\) and \(f(x)\) is continuous on \(\mathbb{R}\) and satisfies the signum condition \(x f(x) > 0\) if \(x \neq 0\). The term \((\phi_p(x'))'\) is called the one-dimensional \(p\)-Laplacian operator, and the equation has a close relationship to elliptic equations with \(p\)-Laplacian. The relation between the constants \(\alpha\) and \(p\) influences the asymptotic behavior of solutions of the equation as \(t \to \infty\). The half-linear differential equations \((t^{\alpha-1} \phi_p(x'))' + \lambda t^{\alpha-1-p} \phi_p(x) = 0\) and its extend equations play important role to prove our results. The proofs of our results are based on Riccati technique and phase plane analysis. This is a joint work with Prof. Ondřej Došlý from Masaryk University in Czech Republic.