谷地村 敏明， 領域の特異摂動と二相固有値問題

ラプラス作用素や一般の二階楕円型作用素の固有値が，領域を滑らかに変形したり，超曲面に退化させたり，小さな穴を空けるなどの領域の摂動に対してどのように変化するかという問題は Courant-Hilbert の先駆的研究以来重要な課題である．本講演では，主要部の係数が区分的に定数関数である楕円型作用素の薄い領域における固有値問題を考察し，係数の不連続性および退化先の超曲面の幾何学的形状が，固有値の漸近挙動に対してどのような影響を及ぼすのかについて得られた結果を紹介する．

石橋 和葵， Mathieu 方程式に対する解の振動問題

1868年にフランスの数学者 Mathieu は楕円型太鼓膜の振動の研究において，2階線形微分方程式 \(x'' + (-\alpha + \beta\cos(2 t))x = 0\) を導入した．ただし，パラメータ \(\alpha\) と \(\beta\) は任意の実数である．この方程式は後に彼の名前をとって Mathieu 方程式と呼ばれる．パラメータを周期的に変化させることによって振幅が拡大する振動現象は Mathieu 方程式によって表されることが多い．本講演ではより一般化した Mathieu 方程式 \(x'' + (-\alpha + \beta\cos(\omega t))x = 0\) の解の振動問題について考察する．ただし，\(\omega\) は任意の正の実数である．\(\omega=2\) のとき，Leighton (1986)，El-Sayed (1993)，Sun, Ou and Wong (2004) らによってMathieu方程式の解が振動するための十分条件は既に得られている．しかしながら，Mathieu 方程式の解が振動しない条件は報告されていない．本講演は一般化した Mathieu 方程式に対する解の振動および振動しない十分条件を得たので報告し，既に得られた振動結果と我々の結果を比較する．尚，本講演内容は指導教官である杉江先生との共同研究に基づくものであり，既に J. Math. Anal. Appl., 446 (2017), 233-247 に掲載済みのものである．

豊田 洋平， 非斉次係数をもつ半線形楕円型方程式の解の先験的評価

本講演では, 有界領域 \(\Omega\) における半線形楕円型方程式 \(-\Delta u=a(x)u^p\) の正値解に対する先験的評価を導出する. 先験的評価は解の多重性や存在性を示すうえで非常に重要で, Gidas, Spruck 氏らによって係数関数 \(a(x)\) がゼロ点を持たない場合やゼロ点が有限個で孤立している場合での解の先験的評価は既に得られている. 一方, 本講演では \(a(x)\) のサポートが領域に真に含まれる場合について考察し, 解のスケーリングと Liouville 型の定理を組み合わせることで解の先験的評価が得られることを紹介する. また証明の key となる Liouville 型の定理についても言及する. 尚, 本講演内容は大阪大学の鈴木貴先生、愛媛大学の内藤雄基先生との共同研究に基づく.

Vitaly Moroz， Asymptotic properties of ground states of a semilinear elliptic equation with a vanishing parameter

We consider an elliptic problem with a double-well nonlinearity which involves the critical Sobolev exponent. When one of the parameters vanishes the round states of the problem converge to a minimizer of the Sobolev inequality after a suitable rescaling. We establish the precise asymptotic rate of such rescaling. As a consequence, we obtain asymptotic behaviour of the ground states at the origin and near infinity. This is joint work with Cyrill Muratov (NJIT, USA).

眞崎 聡， 最小化問題を用いた NLS 方程式の時間大域挙動の解析

非線型シュレディンガー方程式（NLS 方程式）の解は線形分散効果と非線形相互作用のバランスによりいくつかの挙動を示す。例えば、線形効果が強い場合には解は自由解へと漸近し（散乱）、これらの効果が釣り合う場合にはソリトン解が発生する。ここでは、これらの挙動を持つ解たちの境目について調べたい。そのため、解に関する最小化問題を導入する。この最小化問題は状態空間内の解曲線に対する最小化であり、エネルギーの最小化等とは少し異なることに注意する。時空分散評価に基づく凝集コンパクト性の技術を用いることにより、これらの最小化問題に対して最小化元を構成することができる。

川上 竜樹， Existence of mild solutions for the Hamilton-Jacobi equation with critical fractional viscosity in the Besov spaces

本講演では全空間において臨界の分数冪粘性を有するハミルトン-ヤコビ方程式の積分方程式の可解性について考察する. 通常の粘性ハミルトン-ヤコビ方程式については \(W^{1,\infty}\) に属する任意の初期値に対して, 積分方程式の時間大域可解性が知られている. 一方で臨界の分数冪粘性を有する場合は主要部と反応項の微分回数が（形式的に）等しくなるため, 上記のソボレフ空間において解を構成することは期待できない. 本講演では初期値及び解の属する空間としてベゾフ空間を用いることで問題点を回避し, 十分小さな初期値に対して時間大域解を構成できることを紹介し, その解の漸近挙動について述べる. 尚, 本講演内容は東北大学の岩渕司氏との共同研究に基づく.

Wirot Tikjha， Global behavior of a family of systems of piecewise linear difference equations

This presentation is an exposition of a family of systems of piecewise linear difference equations. We share our results, conjectures and open problems from the following family of 81 systems of piecewise linear difference equations \[ x_{n+1} = |x_n| + ay_n + b \quad \text{and} \quad y_{n+1} = x_n + c|y_n| + d, \] where the initial condition \((x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2\) and the parameters \(a, b, c, d \in \{-1,0,1\}\). This is a joint work with Professors E. Lapierre of Johnson and Wales University and E. A. Grove of University of Rhode Island.

山本 宏子， 空間的に非一様な反応拡散方程式の点凝集パターンとその凝集点

Gierer と Meinhardt は1972年にヒドラの頭部再生モデルとして，活性因子・抑制因子系 (GM) と呼ばれる反応拡散系を提唱した．彼らは，活性因子が多く集まる場所に頭部が形成されるという仮説をたて，数値シミュレーションにより，有限個の点の周りに分布が集中するスパイクパターンが現れることを観測した．このようなパターンができる現象は点凝集現象と呼ばれ，凝集点がどこに現れるかが最も興味深い問題である．それは，凝集点の位置が分かれば，パターンの位置や形状を予想できるからである．本講演では，空間的に非一様な環境（変数係数）の場合に，点凝集パターンの凝集点が係数の何に依存して決まるのかを議論する．

吉田 夏海， Decay properties of solutions of the Cauchy problem for the scalar conservation law with degenerate viscosity

We consider the convergence rate in time to solutions of the Cauchy problem for the viscous conservation law with a nonlinear viscosity where the far field states are prescribed. Especially, we deal with the case when the flux function is convex or concave but linearly degenerate on some interval. The proof is given by time-weighted energy methods under the use of the precise asymptotic properties of the interactions between the nonlinear waves.

松下 慎也， 制約可能性問題に対する解法について

実社会における様々な問題を数学を用いて記述すると，問題を解決する鍵はしばしば複数の集合の共通部分として表現される。それを見つける問題は制約可能性問題と呼ばれ，所望の条件を全て満足する解を表現する理想的な数理モデルとして，数学だけにとどまらず工学，経済学などの問題を含む重要な研究テーマである。射影法は，制約可能性問題を解決する為に有効な方法として知られており，フォン・ノイマンによる結果が得られて以来，精力的に研究が進められている。特に最近になって，工学分野における問題解決に有効である事が明らかとなり，その研究は飛躍的に発展してきている。本講演では，制約可能性問題に対する解法について，最近の研究成果を紹介する。